Matemática Básica: Funciones trascendentales

Funciones trascendental

1 Función exponencial

La cual se define

Y=a^x

Dado que a∊ R, a>0 ∧ a≠1

Se observa que x es la variable y el número llamado la base es una constante.

Propiedades:

Y=a^x

1.- El dominio es de todos los números reales

2.- El rango son todos los reales positivos.

3.- La función es creciente cuando a>1n y es decreciente si a<1.

4.- Bases conocidas:

a) Base exponencial natural

Y=e^x donde la base e ≈ 2.71828

Es un número irracional de los más importante en matemáticas

b) Base exponencial decimal o vulgar

Y=10^x

Cuando las base es negativa es alterna la función. No es una función continua, es una sucesión de valores positivos y negativos.

2 Funciones logarítmica

Se define por

Y= log_ax

La función logaritmo de base a log_ax como inversa a la función exponencial en base a>1. Es decir el log_ax es el exponente al que se debe elevar para obtener x.

log_ax=y a^y=x

Ejemplo:

Log₃81=4 3⁴=81

Propiedades de los logaritmos:

1.- Los números negativos no poseen logaritmos.

2,. El logaritmo de la base del sistema es la unidad

log_aa =1

3.- El logaritmo de 1 es igual a cero.

4.- los números menores a 1 tienen logaritmos negativos

5.- los números mayores a 1 tienen logaritmos positivos

6.- log_aAB= log_aA+log_aB

7.- log_aA/B= log_aA.- log_aB

8.- log_aAⁿ= n log_aA

Para verificar las propiedades

Los dos Sistemas logarítmicos más usados son:

a.- Logaritmos naturales o neperianos, cuya base se denota comúnmente ln x

ln x= log_ex

El logaritmo natural es el inverso de la función exponencial natural e^x en consecuencia

X=e^lnx ∧ e^u =x donde u=lnx

b.- logaritmos vulgares o Brigg, cuya base es 10, en consecuencia

X=10^logx ∧ 10^u =x donde u=log₁₀x

Ejemplo:

Y=e^x+1

Dom R

Todas las funciones exponenciales tienen como dominio todos los números reales.

Dom R -{0}

La restricción de este dominio no es la función exponencial sino el exponente en sí que esta representado por una función racional, la cual se debe limitar a que el denominador sea distinto de cero.

Ejercicios

Ejemplo:

1.- Y=ln (x-1)

x-1>0

x >1

Dom (1, +∞)

Se debe tomar esta condición porque en las propiedades. Se refleja, la no existencia de los logaritmos para números negativos y el cero.

2.- Y= (lnx)^1/2

Lnx ≥ 0

e^lnx ≥ e ⁰

x ≥ 1

Dom [1, +∞)

En esta función la primera decisión a tomar es la función irracional exista, por eso el logaritmo debe ser mayor o igual que cero. Despejando la variable a través de la función inversa se llega a la conclusión del dominio debe ser desde uno al infinito positivo.

3.-

Funciones trigonométricas

Las funciones trigonométricas parten del desarrollo del llamado círculo unitario (x²+y²=1), cuyo centro es el origen y el radio es uno (1), según lo muestra la figura

Seno

El dominio de la función seno es el conjunto de todos os números reales los valores pueden ser expresados en radianes. Para elaborar la gráfica de la función seno se toma la primera vuelta del círculo unitario.

Recibe el nombre se sinusoide

Dom R

Rgo [-1,1]

Período 2π

Simetría con respecto al origen

-sen x=sen (-x)

Coseno

El dominio de la función coseno es el conjunto de todos os números reales los valores pueden ser expresados en radianes. Para elaborar la gráfica de la función coseno se toma la primera vuelta del círculo unitario. Recibe el nombre se cosinusoide